論理式Ｐ、Ｑがいずれも真であるとき、論理式Ｒの真偽にかかわらず真になる式はどれか。ここで、“ ”は否定、“∨”は論理和、“∧”は論理積、“→”は含意 (“真→偽”となるときに限り偽となる演算) を表す。
ア ((Ｐ→Ｑ) ∧ (Ｑ→Ｐ)) → (Ｒ→Ｑ)
イ ((Ｐ→Ｑ) ∧ (Ｑ→Ｐ)) → (Ｑ→Ｒ)
ウ ((Ｐ→Ｑ) ∨ (Ｑ→Ｐ)) → (Ｒ→Ｑ)
エ ((Ｐ→Ｑ) ∨ (Ｑ→Ｐ)) → (Ｑ→Ｒ)
エ
Ｐ、Ｑはいずれも真であるから、代入してみる。
ア ((Ｐ→Ｑ)∧(Ｑ→Ｐ))→(Ｒ→Ｑ)
＝ ((真→真)∧(真→真))→(Ｒ→偽)
＝ (真∧真)→(Ｒ→偽)
＝ 真→(Ｒ→偽)
Ｒが真のとき 真→(真→偽) ＝ 真→偽 ＝ 偽
Ｒが偽のとき 真→(偽→偽) ＝ 真→真 ＝ 真
イ ((Ｐ→Ｑ)∧(Ｑ→Ｐ))→(Ｑ→Ｒ)
＝ ((真→真)∧(真→偽))→(真→Ｒ)
＝ (真∧真)→(真→Ｒ)
＝ 真→(真→Ｒ)
Ｒが真のとき 真→(真→真) ＝ 真→真 ＝ 真
Ｒが偽のとき 真→(真→偽) ＝ 真→偽 ＝ 偽
ウ ((Ｐ→Ｑ)∨(Ｑ→Ｐ))→(Ｒ→Ｑ)
＝ ((真→偽)∨(真→真))→(Ｒ→偽)
＝ (偽∨真)→(Ｒ→偽)
＝ 真→(Ｒ→偽)
Ｒが真のとき 真→(真→偽) ＝ 真→偽 ＝ 偽
Ｒが偽のとき 真→(偽→偽) ＝ 真→真 ＝ 真
エ 正しい。
((Ｐ→Ｑ)∨(Ｑ→Ｐ))→(Ｑ→Ｒ)
＝ ((真→偽)∨(真→偽))→(Ｑ→Ｒ)
＝ (偽∨偽)→(真→Ｒ)
＝ 偽→(真→Ｒ)
Ｒが真のとき 偽→(真→真) ＝ 偽→真 ＝ 真
Ｒが偽のとき 偽→(真→偽) ＝ 偽→偽 ＝ 真
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