基本論理演算のAND (論理積)、OR (論理和)、NOT (否定) を用いて構成した次の式のうち、排他的論理和 (XOR) と同等の式として、最も適切なものはどれか。
なお、
aとbとの論理積を (a ∩ b)、
aとbとの論理和を (a ∪ b)、
aの否定を a
と表現する。
① a ∩ (a ∪ b)
② (a ∩ b) ∪ (a ∩ b)
③ (a ∪ b) ∩ (a ∪ b)
④ (a ∩ b) ∪ (a ∩ b)
⑤ (a ∪ b) ∩ (a ∪ b)
④
排他的論理和は、a, b の値が異なる時に1となる。
XOR(0, 0) = 0
XOR(0, 1) = 1
XOR(1, 0) = 1
XOR(1, 1) = 0
① (a, b) = (0, 0) の時
0 ∩ (0 ∪ 0)
= 0 ∩ 0 = 0 = 1 となる。
② (a, b) = (1, 1) の時
(1 ∩ 1) ∪ (1 ∩ 1)
= 1 ∪ 1 = 1 となる。
③ (a, b) = (1, 1) の時
(1 ∪ 1) ∩ (1 ∪ 1)
= 1 ∩ 1 = 1 となる。
④ 正しい。(a ∩ b) をcとおくと
ド・モルガンの法則より
(Ａ ∩ Ｂ) ∪ Ｃ ＝ (Ａ ∪ Ｃ) ∩ (Ｂ ∪ Ｃ) が成り立つから
(a ∩ b) ∪ c
= (a ∪ c) ∩ (b ∪ c)
= (a ∪ (a ∩ b)) ∩ (b ∪ (a ∩ b))
= ((a ∪ a) ∩ (a ∪ b)) ∩ ((b ∪ a) ∩ (b ∪ b))
= (a ∪ b) ∩ (b ∪ a)
がが成り立ち、これは排他的論理和の式となる。
⑤ (a, b) = (0, 0) の時
(0 ∪ 0) ∩ (0 ∪ 0)
= (0 ∪ 1) ∩ (1 ∪ 0)
= 1 ∩ 1 = 1 となる。
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