論理式 Ｘ・(Ｙ＋Ｚ) で表される組合せ回路を、NANDゲートだけで表現したい。その回路に対応する論理式として正しいものはどれか。ここで、演算子＋、・はそれぞれOR (論理和)、AND (論理積)、Ｘ は論理変数 Ｘ の否定を表す。また、NAND演算子は | (Shefferの棒記号) で表すことにし、Ｘ|Ｙ = Ｘ・Ｙ で定義される。
① (Ｘ|Ｙ) | (Ｘ|Ｚ)
② (Ｘ|Ｙ) | Ｚ)
③ ((Ｘ|Ｘ) | Ｙ) | ((Ｘ|Ｘ) | Ｚ)
④ ((Ｘ|Ｙ) | Ｚ) | ((Ｘ|Ｚ) | Ｘ)
⑤ ((Ｘ|Ｙ) | (Ｙ|Ｚ)) | (Ｚ|Ｘ)
③
(Ｘ|Ｘ) = Ｘ・Ｘ = Ｘ である。 ・・・(1)
また、ド・モルガンの法則は、Ａ＋Ｂ ＝ Ａ・Ｂ であり、
Ａ＋Ｂ ＝ NOT(Ａ・Ｂ) でもある。 ・・・(2)
これを踏まえる。
＝ Ｘ・(Ｙ＋Ｚ)
＝ (Ｘ・Ｙ) ＋ (Ｘ ・Ｚ)
＝ ((Ｘ|Ｘ)・Ｙ) ＋ ((Ｘ|Ｘ)・Ｚ) ・・・(1)より
ここで、((Ｘ|Ｘ)・Ｙ) ＝ Ａ、 ((Ｘ|Ｘ)・Ｚ) ＝ Ｂ とおくと
＝ Ａ＋Ｂ
＝ NOT(Ａ・Ｂ) ・・・(2)より
＝ NOT( ((Ｘ|Ｘ)・Ｙ)・((Ｘ|Ｘ)・Ｚ) )
＝ NOT( ((Ｘ|Ｘ) | Ｙ)・((Ｘ|Ｘ) | Ｚ) ) ・・・定義より
＝ ((Ｘ|Ｘ) | Ｙ)・((Ｘ | Ｘ) | Ｚ)
＝ ((Ｘ|Ｘ) | Ｙ) | ((Ｘ | Ｘ) | Ｚ) ・・・定義より
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