全体集合Ｓ内に異なる部分集合ＡとＢがあるとき、Ａ∩Ｂに等しいものはどれか。ここで、Ａ∪ＢはＡとＢの和集合、Ａ∩ＢはＡとＢの積集合、ＡはＳにおけるＡの補集合、Ａ−ＢはＡからＢを除いた差集合を表す。
ア Ａ−Ｂ
イ (Ａ∪Ｂ) − (Ａ∩Ｂ)
ウ (Ｓ−Ａ) ∪ (Ｓ−Ｂ)
エ Ｓ−(Ａ∩Ｂ)
ア
ベン図で表現するとすぐに分かるが、あえて式を変形する。
Ａ∩Ｂ ＝ Ａ∪Ｂ ＝ Ｓ − (Ａ∪Ｂ)
＝ Ｓ−Ａ−Ｂ ＝ Ａ−Ｂ
ア 正しい。
Ａ−Ｂ ＝ (Ｓ−Ａ) − Ｂ ＝ Ｓ − (Ａ∪Ｂ)
＝ Ａ∪Ｂ ＝ Ａ∩Ｂ
イ (Ａ∪Ｂ) − (Ａ∩Ｂ) ＝ Ａ∩Ｂ − (Ａ∩Ｂ)
ここで、Ａ∩ＢをＸとおくと、
Ｘ −Ｘ であるが、Ｘの補集合からを除けないので、Ｘ −Ｘ ＝ Ｘ
従って、Ａ∩Ｂ − (Ａ∩Ｂ) ＝ Ａ∩Ｂ ＝ Ａ∪Ｂ
ウ (Ｓ−Ａ) ∪ (Ｓ−Ｂ) ＝ Ａ∪Ｂ
エ Ｓ−(Ａ∩Ｂ) ＝ Ａ∩Ｂ ＝ Ａ∪Ｂ
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