シグモイド関数 f(x) ＝ 1／(1＋ｅ-X) の記述のうち、最も適切なものはどれか。
① X ＝ -1 のとき、値は0である。
② X ＝ 0 のとき、Xについての第2次導関数の値は1である。
③ X ＝ 0 のとき、値はおよそ0.1である。
④ Xの絶対値が5 のとき、値はおよそ0.99である。
⑤ 接線の傾きは、X ＝ 0 において最大となる。
⑤
シグモイド関数は、ニューラルネットワークの活性化関数として使われる。
y ＝ 1／f(x) を微分すると
y' ＝ -f'(x) ／f(x)2 だから
f(x) ＝ 1／(1＋ｅ-X) を微分すると
f'(x) ＝ －(1＋ｅ-X)' ／(1＋ｅ-X)2 ＝ ｅ-X／(1＋ｅ-X)2
＝ 1／(1＋ｅ-X) × (1＋ｅ-X-1) ／(1＋ｅ-X)
＝ f(x) × (1－f(x)) である。
さらに、f'(x) ＝ f(x) × (1－f(x)) を微分すると
f''(x)＝ f'(x) × (1－f(x)) ＋ f(x) × (1－f(x))'
＝ f(x) × (1－f(x)) × (1－f(x)) ＋ f(x) × (-f'(x))
＝ f(x) × (1－f(x)) × (1－f(x)) － f(x) × f'(x)
＝ f(x) × (1－f(x)) × (1－f(x)) － f(x) × f(x) × (1－f(x))
＝ f(x)× (1－f(x)) × ((1－f(x) － f(x))
＝ f(x)× (1－f(x)) × (1－2f(x)) である。
また、ｅ＝2.718・・・である。
これらを踏まえる。
① f(-1) ＝ 1／(1＋ｅ) ＝ 1／(1＋2.718)
② f(0) ＝ 1／(1＋ｅ0) ＝ 1／2 より
f''(0) ＝ f(0)× (1－f(0)) × (1－2f(0))
＝ f(0)× (1－f(0)) × (1－1) ＝ 0
③ f(0) ＝ 1／(1＋ｅ0) ＝ 1／2 ＝ 0.5
④ f(5) ＝ 1／(1＋ｅ-5) ≒ 0.9933だが、
f(-5) ＝ 1／(1＋ｅ5) ≒ 0.0067
⑤ 正しい。
f'(x) ＝ f(x) × (1－f(x)) ＝ -(f(x)2 － f(x))
＝ -(f(x)2 －f(x) ＋ 1／4 － 1／4)
＝ -(f(x) - 1／2)2 ＋ 1／4
従って、 f(x) ＝ 1／2 の時に接線の傾きが最大で1／4となる。
f(x) ＝ 1／(1＋ｅ-X) ＝ 1／2 となるのは x ＝ 0 の時である。
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