ある店舗に、ケンドール記法でM/M/1モデル (ポアソン過程に従って客が到着し、サービス時間が指数分布に従う窓口が1つの待ち行列モデル) に従うレジがあるものとする。その店に16時間の営業時間中に平均128人の客が到着し、1人の客当たりの平均サービス時間を3分とした場合の平均待ち時間は、何分か。
① 2分 ② 4分 ③ 6分 ④ 8分 ⑤ 10分
①
M/M/1モデルの場合、
平均到着率:λ(ラムダ) ・・・単位時間当たりに何人来るか
平均サービス率:μ(ミュー) ・・・単位時間当たりに何人処理できるか
とすると、以下が成り立つ。
平均利用率:ρ(ロー) ＝ λ/μ
平均到着間隔:ａ ＝ 1/λ
平均サービス時間:Ｔs ＝ 1/μ
待ち系の平均の長さ:Ｌ ・・・サービスを受けている人も含め系内に何人いるか。(今到着したばかりの人の前にいる人数)
Ｌ ＝ ρ/(1－ρ)
平均待ち時間:Ｔw ・・・待ち行列に並んで、順番が来るまでの時間
Ｔw ＝ Ｌ×Ｔs ＝ ρ/(1－ρ)×Ｔs ＝ ρ/(1－ρ)×(1/μ)
待ち行列の平均の長さ:Ｌq ・・・待ち行列に何人並んでいるか
Ｌq ＝ λ×Ｔw ＝ λ×ρ/(1－ρ)×(1/μ) ＝ ρ2/(1－ρ)
平均応答時間:Ｔ ・・・待ち行列に並んで、サービスが終了するまでの時間
Ｔ ＝ Ｔw＋Ｔs ＝ ρ/(1－ρ)×Ｔs＋Ｔs ＝ Ｔs/(1-ρ)
リトルの法則:Ｌq ＝ λ×Ｔw
問題より、
λ ＝ 128人／16時間 ＝ 8人／時間
Ｔs ＝ 3分
μ ＝ 1／Ｔs ＝ 60分／3分 ＝ 20件／時間
ρ ＝ λ／μ ＝ 8／20 ＝ 0.4
よって平均待ち時間 Ｔw ＝ 0.4／(1-0.4)×3 ＝ 2分
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